metode secant

Metode secant merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linear.

Dengan prinsip utama :

·         Metode ini melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis secant yang ditentukan oleh 2 titik akhir.

·         Nilai taksiran akar selanjutnya adalah titik potong antara garis secant dengan sumbu x

Langkah penyelesaian:

·         Tentukan nilai awal x₀ dan x₁

·         Hitung f(x₀) dan f(x₁), kemudian cek konvergensi f(x₀) dan f(x₁)

·         Lakukan iterasi

·         Hitung nilai taksiran akar selanjutnya.

rumus:

                    f(x_k)    (x_k-x_k-1)

x_k+1= x_k - .............................................           atau

                          f(x_k) - f( x_k-1)

                              f(x₂)      (x₂-x₁)

x₃ = x₂ -    ...........................................                

                          f(x₂) - f( x₁)

iterasi akan berhenti jika mendapatkan akar dengan :

• ·        f( x_k+1) =0
• ·         error = 0
• 
  

contoh :

untuk f( x_k+1) =0

1.     cari salah satu akar dari persamaan

 f(x) = x³ + x² - 3x – 3

dimana x₁ = 1, x₂ = 2

jawab:

f(1) = -4

f(2) = 3

iterasi I

x3 = x2 – (f(x2) (x2-x1) / f(x2)-f(x1) )

     =  2 – (3 (2-1) / 3- (-4)) = 1,57142

f (1,57142) =  -1,36449

iterasi II

x4 = x3 – (f(x3) (x3-x2) / f(x3)-f(x2) )

     =  1,57142 – (-1,36449  (1,57142 -2) / -1,36449  - (3)) = 1,70540

f (1,70540) =  -0,24774

iterasi III

x5 = x4 – (f(x4) (x4-x3) / f(x4)-f(x3) )

     =  1,70540 – (-0,24774 (1,70540-1,57142) / -0,24774- (-1,36449)) = 1,73514

f (1,73514) =  0,02925

iterasi IV

x6 = x5 – (f(x5) (x5-x4) / f(x5)-f(x4) )

     =  1,73514 – (0,02925 (1,73514 -1,70540) / 0,02925- (-0,24774)) = 1,73200

f (1,73200) =  -0,00051

iterasi V

x7 = x6 – (f(x6) (x6-x5) / f(x6)-f(x5) )

     =  1,73200– (-0,00051 (1,73200-1,73514) / -0,00051- (0,02925)) = 1,073205

f (1,073205) =  0

maka akarnya adalah 1,073205

www.iaincirebon.ac.id/

metode numerik

Di dalam matematika aplikasi pencarian akar persamaan f(x)=0 sering dijumpai. Biasanya jawaban analitis dari persamaan diatas tidak ada, sehingga harus dicari jawaban numeriknya yang biasa dilaksanakan dengan metode iterasi.

apa itu metode iterasi?

iterasi dapat diartikan sebagai suatu proses atau metode yang digunakan secara berulang-ulang (pengulangan) dalam menyelesaikan suatu permasalahan matematik.

metode numerik merupakan teknik dalam penyelesaian prmasalahan - permasalahan yang diformulasikan secara matematik dengan cara oprasi hitung.

prinsip- prinsip metode numerik :

• digunakan jika metode analitik tidak dapat digunakan lagi
• metode numerik merupakan pendekatan untuk mendapatkan pemecahan masalah yang dapat dipertanggung jawabkan secara analitk
• pendekatannya merupakan analisis matematis
• metode numerik terdiri atas alogaritma-alogaritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah
• karena berasal dari alogaritma pendekatan, maka metode numerik ini akan memakai iterasi (pengulangan)
• nilai kesalahan merupakan hal yang paling utama untuk mengetahu seberapa baik metode yang digunakan.

pemakaian metode numerik

biasanya dilakukan untuk menyelesaikan persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik, seperti :

• persamaan non linear
• persamaan simultan
• diferensial dan integral
• interpolasi dan regresi
• persamaan differensial
• masalah multi variabel untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat.

metode bisection

Metode Bisection digunakan untuk mencari akar persamaan non linear melalui proses iterasi dengan persamaan :

Xc  = (Xa+Xb)/2                  ................. (2.1)

Dimana nilai :

f(Xa) . f(Xb) < 0                   .................. (2.2)

Kelemahan :

·         Jika akar persamaan lebih dari satu, maka nilai tersebut hanya bisa ditemukan satu persatu/tidak bisa sekaligus.

·         Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner).

·         Proses iterasi tergolong lambat.

Algoritma Metode Bisection

• ·         Langkah pertama, menentukan dua nilai x (xa dan xb) sebagai nilai awal perkiraan. Kedua nilai ini harus memenuhi syarat persamaan 2.2.
• ·         Langkah kedua, jika nilai awal telah didapatkan selanjutnya menentukan nilai x (misal xc) baru menggunakan persamaan 2.1
• ·         Langkah ketiga, mencari nilai f(xc)

Langkah selanjutnya, melakukan langkah 2 dan 3 hingga didapatkan f(xc) = 0 atau mendekati 0.

Contoh

Carilah akar persamaan f(x) = x³ - 7x + 1

·         Langkah pertama,

menentukan dua nilai x awal, misal xa = 2,6 dan xb = 2,5

Kemudian cek apakah kedua nilai tersebut memenuhi syarat?

f (xa) = f(2,6) = (2,6)³ - 7(2,6) + 1 = 0,376

f (xb) = f(2,5) = (2,5)³ - 7(2,5) + 1 = -0,875

Karena f(xa).f(xb) < 0 maka kedua nilai perkiraan di atas

benar.

·         Langkah kedua,

mencari nilai xc

xc  = (xa+xb) / 2

xc  = (2,6 +2,5) / 2 = 2,55

f (xc) = f (2,55) = (2,55)³ - 7(2,55) + 1 = -0,2686

karena nilai f(xc) negatif maka f(xc) menggantikan f(xb).

·         Langkah ketiga,

mencari nilai xd

xd  = (xa+xc) / 2

xd  = (2,6 +2,55) / 2 = 2,575

f (xd) = f (2,575) = (2,575)³ - 7(2,575) + 1 = -0,04886

·         Langkah keempat,

mencari nilai xe

xc  = (xa+xd) / 2

xc  = (2,6 +2,575) / 2 = 2,5625

f (xc) = f (2,5625) = (2,5625)³ - 7(2,5625) + 1 = -0,11108

Langkah berikutnya, ulangi langkah-langkah di atas hingga menemukan f(xn) yang mendekati nol atau f (x_n-1) - f(x_n) < e

Sedangkan e dapat ditentukan sendiri, misalnya Ex10-5